Де-Бройл ғояси

1924 йили  француз физиги Де Бройл томонидан агар ёруғлик квантлари учун  корпускуляр-тўлқин дуализми ўринли бўлса, бошқа микрозарралар учун ҳам корпускуляр-тўлқин дуализми ўринли деб ҳисоблаш мумкин деган ғоя айтилган. Бошқача айтганда, Де-Бройл табиатдаги мавжуд симметрияга асосланиб, агар ёруғлик (фотонлар),  тўлқин хусусиятдан ташқари корпускуляр хусусиятларни ҳам намоён қилар экан, микрозаррачалар ҳам корпускуляр хусусиятлар билан бир қаторда тўлқин хусусиятларига ҳам эга бўлиши керак деган ғояни илгари суради.

Юқоридагидан массали  ва  энергияли  (- импульсли) микрозаррачага ҳам  частотали  ва  тўлқин узунликли ясси, монохроматик тўлқин мос келади  ҳамда импульс  ва тўлқин узунлиги    кўринишида ифодаланади. Бу ғоянинг киритилишидан қуйидагиларни асослаш мумкин:

1. Импульс ва тўлқин узунлиги орасидаги муносабатдан микрозаррачаларга ҳам корпускуляр-тўлқин дуализмини тадбиқ этиш мумкинлигини ;
2. Микрозаррача (жисм) импульсининг қийматларига асосланиб тўлқин ҳусусиятларини эътиборга олиш ёки олмаслик чегараларини аниқлашни;
3. ифодадан Борнинг импульс моментининг  квантлаш шарти  нинг ўринли эканлиги, яъни  - нчи орбитага  та Де Бройл тўлқини жойлаштирилиши мумкинлиги асосланади.

    частотага ва  тўлқин векторининг  энергия ва импульсга боғланишидан Де-Бройл тенгламалари ёзилади.

                     (2.1.1)

                     (2.1.2)

   (2.1.1)   ва (2.1.2) формулалар тўлқинни ифодаловчи - ва корпускула (заррачани)  ифодаловчи  катталикларни ўзаро боғлайди.

    -тўлқинни характерловчи  ва -  заррачани характерловчи  катталиклар ўзаро Планк доимийси  орқали боғланади.

   Аввалги параграфдаги водород атоми учун Бор  назариясида импульс моментининг квантланиш шарти  киритилган, лекин асосланмаган. Де-Бройлнинг  фикрича атомдаги ҳар бир электронга маълум тўлқин узунликга эга бўлган турғун тўлқин мос келади.

   Бор назариясида электронларнинг доиравий орбиталар бўйлаб ҳаракатланиши қаралганлигидан, де-Бройл атомдаги электронларга бир-бири билан туташувчи доиравий турғун тўлқинлар мос келади деб фараз қилади. Ушбу  тасдиқ асосида Борнинг квантланиш шартлари ва улардан келиб чиқадиган натижалар тўлиқ асослаб берилади.

   Шундай қилиб, де-Бройл импульсга эга бўлган электронни тўлқин узунлиги  билан боғлаш кераклигини таъкидлади:

                                 (2.1.3)

   Энергияси е ва импульси  га тенг бўлган эркин ҳаракатланувчи электроннинг ҳаракати билан  де-Бройл ясси тўлқини ҳаракати қуйидагича боғланган, бу ерда, - фазодаги ихтиёрий нуқтага мос радиус-вектор, вақт:

        (2.1.4)

            (1) ва (2) дан   ва —  ларни аниқлаб, (4) тенгламага қўйилса,

                                                        (2.1.5)

   де-Бройл тўлқинининг ифодаси   ҳосил қилинади.

          Биринчи қарашда, (2.1.5) тўлқиннинг ҳаракати билан заррачаларнинг механик ҳаракати орасидаги  боғланишни аниқлаш мураккаб.

   Энди (2.1.5) тўлқин ва заррачанинг механик ҳаракати орасидаги боғланишни аниқлаймиз.

    ОХ ўқи йўналишни танлаймиз ва бу йўналиш тўлқиннинг ҳаракат йўналиши билан мос тушади деб ҳисоблаймиз.  У ҳолда (2.1.5) ўрнига қуйидаги ифода ҳосил бўлади:

       (2.1.6)

    (2.1.6) да экспонентанинг даража кўрсатгичидаги  тўлқин фазаси ихтиёрий х нуқтада аниқ қийматга эга бўлса, унга мос координата  қуйидагича аниқланади.

       (2.1.7)

          Тўлқин фазаси қиймати фазода  тезлик билан силжиб боради, (2.1.7)  тенглик вақт бўйича дифференциалланса фазавий тезлик  нинг ифодаси аниқланади.

                             (2.1.8)           

   -   фазавий тезликнинг к га боғлиқлигидан унинг тўлқин узунлиги  () га ҳам к га боғлиқ бўлади,  бу боғланиш эса тўлқиннинг дисперцияланишини  кўрсатади.

   Де-Бройл тўлқинлари, электромагнит тўлқинлардан фарқли ҳолда,  вакуумда ҳам дисперсияланиш ҳусусиятига эга экан ва бу  Де-Бройл тўлқинининг электромагнит тўлқинлардан фарқ қилишини кўрсатади.

           Частота учун

      +........    (2.1.9)        

   ўринли бўлса ва    эканлиги ва норелятивистик заррача учун  лигидан (2.1.9) га асосан, тезлик     тўлқин вектори   нинг функцияси бўлади, дисперциянинг мавжудлиги исботланади.

   Тўлқин билан микрозаррача ҳаракати орасидаги боғланишни аниқлаш мақсадида частота (тўлқин узунлиги) га эга бўлган қатъий монохроматик бўлмаган тўлқин қаралади, бундай тўлқин - “тўлқин  пакети”  ёки “тўлқинлар группаси” деб аталади.

   Тўлқин группаси (тўлқин пакети) деб бир-биридан тарқалиш йўналиши ва тўлқин узунлиги бўйича жуда кам фарқланувчи (етарлича кичик) тўлқинлар суперпозициясига айтамиз.

    Тўлқин группасининг марказининг координатаси қуйидаги  тенгликдан аниқланади.

       (2.1.10.)

   Демак, бўлганда  (2.1.10) дан   келиб   чиқади.    Бундан   кўриниб   турибдики, пакетнинг маркази х ўқи бўйлаб доимий  тезлик билан ҳаракатланади. Тўлқин пакети марказининг  тезлиги  группавий тезлик деб  аталади.

                                                                        (2.1.11)

   Агар , эканлигини ҳисобга олсак,   хусоса чиқади.

            Тўлқин пакети марказининг марказининг тезлиги, ёки группавий тезлиги, микрозаррачанинг механик тезлигига тенг бўлади. Бу тасаввур классик ва квант тушунчалар “аралашма” си сифатида нотўғри хулосага олиб келади. Демак микрозаррачалар ҳаракатини  Де Бройл тўлқин группаси ҳаракати сифатида қараш ўринли эмас.

   Де-Бройл тўлқин узунликларини микрозаррачанинг кинетик энергиясига боғланишини  учта  чегаравий ҳол учун ҳисоблаймиз.

   1. Кичик тезликларда, яъни шарт ўринли бўлган ҳол учун Де Бройл тўлқини узунлигини заррачанинг кинетик энергияси билан боғловчи формула .                                                               

                                                               (2.1.12)

   2. Релятивистик тезликларда, шарт ўринли бўлган ҳол учун Де Бройл тўлқини узунлиги микрозаррачанинг кинетик энергияси билан боғловчи формула.

      (2.1.13)

   3. шарт бажарилганда, яъни ультрарелятивистик тезликларда Де Бройл тўлқини узунлиги заррачанинг кинетик энергияси билан боғловчи формула.

     (2.1.14)

   - га тенг тезлатувчи потенциал майдонда ҳаракатланувчи  электрон учун га тенглигидан (12) да электрон учун масса ва заряд, Планк доимийси қийматлари маълум деб   ҳисоблаб, Де-Бройл тўлқин узунлигини  (ангестрем ўлчовида) ҳисоблаш  формуласини оламиз.

                                               (2.1.15)

   Ўқитувчиларга амалий машғулотларда заррачанинг массаси ва энергиясини билган ҳолда заррачанинг тўлқин узунлигини юқоридаги тегишли формулалардан фойдаланиб ҳисоблашга оид масалалар ишлатиш тавсия этилади.

   Девиссон ва Джермер томонидан кристалларда, Тартаковский ва Томсон томонидан поликристалларда, Штерн ва Эстерман томонидан Не атомлари  ва Н₂ молекулаларининг кристаллида сочилиш ҳодисаси ўрганилган ва микрозарраларнинг тўлқин ҳоссалари дифракция ходисасини ўрганиш орқали тасдиқланган.

     Де-Бройл  ғояси тажрибада тасдиқлангани билан, Де – Бройл тўлқинининг электромагнит тўлқинлардан фарқланиши аниқланмаган эди, энди Де – Бройл тўлқинининг  физикавий   маъносини   аниқлаш  зарур.

    Бу муаммо Макс Борн томонидан ҳал қилиб берилган. Унинг фикрига кўра  де-Бройл тўлқинларининг интенсивлиги заррачанинг берилган вақт моментида берилган ҳажм элементида топилиш эҳтимоллигига пропорционал.

                                         (2.1.16)            

   Демак, битта заррачага хос бўлган де-Бройл тўлқини, ёруғлик тўлқини каби электр ҳамда магнит майдонларнинг кучланишлари билан тўғридан-тўғри боғланган бўлмасдан, эҳтимолий характерга эга бўлган тўлқиндир.

   Де- Бройл тўлқини информацион характерга эга ва шунинг учун ҳам у физикадаги механик ва электромагнит тўлқинлардан тубдан фарқ қилиб, эҳтимолий тавсифга эгадир.   

   Айрим заррачага мос келувчи де-Бройл тўлқини,  фотопластинкага тушаётган физикавий тўлқинлар каби фазовий давомийликда таъсир эта олмайди, яъни Де-Бройл тўлқини ўзида эҳтимоллик информациясини ташир экан.

   Агар де - Бройл тўлқинини координата ва вақтнинг мураккаб функцияси деб ҳисобласак, бундай ҳолларда умумлаштириб тўлқин функция тушунчасини киритилади,  кўп холларда  тўлқин функция -  - функция деб ҳам аталади ва  кўринишида ифодаланади.

   Микрозаррачаларни жойлашган ўрни тўлқинлар интенсивлиги билан, яъни   - функция амплитудасининг квадрати билан, аниқроғи  - функция комплекс функция бўлганидан   билан аниқланади.  .

            Маълумки заррачани  координатали нуқтанинг атрофида аниқлаш эҳтимоллиги қаралаётган соҳанинг ўлчамларига боғлиқ

            Микрозаррачани координаталари  ()  ни қаралаётган  нуқтанинг атрофида  вақт моментида топилиш эҳтимоллиги  қуйидагича аниқланади.

     (2.1.17)

   Бу ифода асосида  аниқ берилган ҳолда микрозаррачанинг жойлашган ўрнини эҳтимоллигини ҳисоблашга имконияти ҳосил бўлади. Эҳтимоллик зичлиги эса    кўринишида аниқланади.

   Де-Бройл тўлқинининг физикавий мазмунини аниқлаш асосида, тўлқин функция тушунчасининг киритилиши микрозаррачалар ҳолатининг эҳтимолий ҳарактерга эга эканлигини кўрсатди.

   Тўлқин функция модулининг квадрати  микрозаррачани фазонинг берилган соҳасига тушиш эҳтимоллигининг зичлигини характерлайди. Бошқача айтганда, тўлқин функциянинг қийматлари  заррачанинг эҳтимоллик қонуниятлари асосида аниқланадиган ҳаракатини ифодалайди.  

   Атом ўлчамидаги ҳодисаларни ўрганишда Лаплас детерминизмидан тўла воз кечиш керак,  ҳодисанинг рўй беришида жуда кўп имкониятлардан рўй бериш эҳтимоллиги катта бўлганларини қараш талаб этилади ва классик траектория тушунчаси ҳам ўз маъносини йўқотади.

   Атомда стационар ҳолатларнинг бирида жойлашган электрон ҳам атомнинг ихтиёрий нуқтасида мавжуд бўлиши мумкин. Водород атомидаги ягона электрон Бор орбитаси атрофида энг катта эҳтимоллик билан мавжуд бўлади.

   Квант ҳодисаларидаги эҳтимоллик тушунчаси, классик эҳтимолликдан тубдан фарқ қилади ва квант ҳодисаларида якка элементар ҳодисаларнинг, бошқача айтганда ҳар бир микрозарра ҳолатининг эҳтимоллиги тўғрида ҳам фикр юритилади.

    Шу асосда ўқувчиларга эҳтимоллик, эҳтимоллик зичлиги тушунчасини яна бир марта такрорлаш талаб  этилади.

   Шу асосда ўқувчиларда квант физикасига оид ҳодисаларнинг эҳтимолий ғоялар ва тушунчалар асосида тушунтириш зарурлиги яна бир марта таъкидланади.